Auditorías de Comey y McCabe: ¿Qué tan probable es que sea una coincidencia?

New York Times Reportado Que el Servicio de Impuestos Internos le dio uno de los tipos más estrictos de auditorías a James B. Comey, exdirector del FBI y exdirector adjunto Andrew G.

Esto ha planteado muchas preguntas perfectamente razonables, la mayoría de las cuales son variables: ¿Cuáles son las posibilidades? Como señaló el artículo, las posibilidades de que dos enemigos políticos de alto rango del presidente Donald J. Trump revisen por casualidad son muy escasas.

Pero minúsculo no es cero.

Si vamos a creer que esto fue una coincidencia, ¿qué tan improbable podemos decir que es? Aquí, tratamos de estimar esta posibilidad lo más seriamente posible.

Primero, los hechos: Ambos hombres fueron seleccionados para auditorías bajo el Programa Nacional de Investigación (NRP), un pequeño subconjunto de todas las auditorías que el IRS realiza cada año. Estas auditorías examinan una muestra de declaraciones para recopilar datos sobre el cumplimiento tributario.

Según el IRS, hubo alrededor de 5000 auditorías de este tipo en 2017, 4000 en 2018 y 8000 en 2019, elegidas entre aproximadamente 154 millones de declaraciones de impuestos individuales cada año. La auditoría del Sr. Comey de su declaración de impuestos de 2017 fue; McCabe regresó para 2019.

Muchos aspectos del NRP complican nuestros cálculos, incluida la metodología de muestreo de los auditores del IRS y los diferentes años de las propias auditorías. Volveremos sobre estos temas más adelante. Por ahora, supondremos que todos los contribuyentes tienen las mismas posibilidades de ser auditados y que ambos hombres fueron auditados en 2017.

Si este problema apareciera en un libro de texto sobre probabilidad, podría leer lo siguiente:

Si hay 154 millones de canicas (el número aproximado de declaraciones de impuestos presentadas cada año) en una urna gigante, y algunas son rojas (entre ellas, las que representan al Sr. Comey y al Sr. McCabe), ¿cuáles son sus posibilidades? ¿Sacarás dos o más bolas rojas si sacas al azar unas cuantas miles del frasco (el número de revisiones en ese año)?

Puede sonar complicado, pero es Un problema relativamente bien pensado, que es algo que muchos estudiantes de matemáticas o estadística pueden encontrar en los cursos universitarios. La gente ya ha derivado ecuaciones para estimar estas probabilidades, con nombres como distribución hipergeométricaque tiene aplicaciones como auditoría electoral y conteo de cartas.

Simplemente podemos ingresar nuestras estimaciones para el número total de bolas, el número de bolas rojas y el número de sorteos, y obtendremos una probabilidad. Si pensamos que sólo hay dos bolas rojas, es decir, si limitamos el ejercicio a Sólo Sr. McCabe y Sr. Comey: esta ecuación arroja una probabilidad de 1 en 950 millones.

Estas son probabilidades mucho mayores que sus posibilidades de ganar un juego de Powerball. También es un resultado casi sin sentido. En el mejor de los casos, esta es la respuesta correcta a la pregunta equivocada.

Para entender por qué es necesario reconocer el absurdo inherente de nuestro ejercicio: para estimar mejor la probabilidad de un evento improbable, debemos dejar de lado el hecho de que ya sabemos que ocurrió. (La probabilidad de que esto suceda es del 100%).

Jordan Ellenbergel profesor de la Universidad de Wisconsin que ha escrito libros sobre matemáticas y pensamiento, lo describió así: «En un mundo irreal, ¿cuál es la probabilidad de que suceda esto que ya sucedió en nuestro universo?».

Puede sonar extraño, pero los mismos problemas aparecen incluso en ejercicios básicos de probabilidad como lanzar una moneda.

Si lanza una moneda 20 veces seguidas, la secuencia específica de caras y cruces es extraordinariamente rara, aproximadamente una en un millón, pero sucedió. Y el alguno La secuencia de fluctuaciones siempre ocurrirá. Es solo una coincidencia sorprendente si esta es la secuencia que seleccionó antes de voltear.

De la misma manera, sería un error limitar la búsqueda solo al Sr. Comey y al Sr. McCabe, porque es probable que examinemos estas posibilidades si supiéramos que dos más Los enemigos políticos notables de la administración fueron examinados en lugar de estos dos hombres.

Una mejor pregunta es: ¿Cuál es la probabilidad de que haya dos o más personas Como Sr. Comey y Sr. McCabe, ¿estarán sujetos a escrutinio durante este período?

¿Debería este grupo de personas incluir a dos altos funcionarios del FBI? ¿Qué dos altos funcionarios del Ministerio de Justicia? Es este marco, una decisión subjetiva más que fáctica, lo que a menudo impulsa cualquier estimación probabilística, más que cualquier elección de distribución estadística o ponderaciones de muestreo.

A continuación se muestra un gráfico de la probabilidad de que nuestra ecuación arroje diferentes opciones para la cantidad de bolas rojas, que van desde dos (el Sr. Comey, el Sr. McCabe y nadie más) hasta 400 (una estimación conservadora de la cantidad de estadounidenses que el Sr. Trump insultado por su nombre en twitter desde el inicio de su candidatura a la presidencia).

La probabilidad aumenta exponencialmente con la elección de quién debería ser considerado una canica roja junto a Comey y McCabe.

El punto no es decidir un número, sino darse cuenta de que nuestra elección del tamaño del grupo es lo que nos lleva a la respuesta. Aunque algunas conjeturas son ciertamente mejores que otras, muchas de las opciones son defendibles.

procesamiento de detalles

Ahora intentemos reducirlo a algo un poco más realista, y volvamos a algunas de las cosas que hemos pasado por alto en nuestra explicación simple de este problema.

Primero, los dos hombres no fueron auditados para el mismo año. Al expandir nuestro alcance para cubrir el período de tres años de 2017 a 2019, nuestras probabilidades resultantes aumentan exponencialmente. Esto es sencillo: si una persona tiene cierta oportunidad de revisar en un año en particular, más años significan más oportunidades para revisar.

En segundo lugar, solo nos interesa la posibilidad de elegir al menos a dos personas.. No consideraremos la probabilidad de que la misma persona sea seleccionada dos veces; Parece poco probable dado que las auditorías podrían prolongarse más de un año, según el relato de Comey. Tenga en cuenta que estamos viendo la probabilidad de elegir al menos dos personas, no específicamente dos, porque también importaría si se eligieran tres o más personas de un grupo.

Finalmente, el IRS en realidad no elige a las personas al azar. En cambio, la agencia tiende a escoger algunos tipos de contribuyentes, incluyendo personas de altos ingresos, más que otros. Para el año fiscal 2001, se incluye un formulario NRP. rendimientos de personas alrededor del percentil 90 de ingresos a aproximadamente 1,7 veces la tasa que cabría esperar, ya que los rendimientos se eligieron independientemente de las ganancias. Esta tasa aumentó a través de los rangos de ingresos más altos, y las personas con ingresos en el 0,5 por ciento superior probablemente estén en la muestra diez veces más que las personas más cercanas al ingreso medio.

Probablemente podamos suponer que cualquier grupo de enemigos de Trump ganaría más que una muestra aleatoria de estadounidenses. Pero no podemos estimar de manera realista el ingreso total de todos en nuestro grupo cada año. También sabemos que el IRS ha considerado otros factores en el muestreo, como tipo de pago Este archivo de contribuyentes, y que los métodos de muestreo pueden cambiar de un año a otro. Esto nos deja con poca orientación sobre cómo combinar los métodos del IRS. Como tal, dejaremos nuestras estimaciones sin ponderar por ingresos. Como ejercicio en el reverso del sobre, si le preocupa cómo los ingresos afectarán estos resultados, puede multiplicar la probabilidad resultante si cree que los miembros del grupo tienen ganancias muy altas y multiplicarla por 10 si cree que son extraordinariamente saludable.

ponerlos todos juntos

Incorporando estas opciones, la siguiente tabla proporciona algunas posibilidades estimadas dependiendo del tamaño del grupo que se esté considerando.

Alternativamente, si nuestras opciones no son satisfactorias, hemos creado una calculadora simple para que pueda crear sus propias probabilidades:

Entonces, ¿cuál es la estimación «correcta»?

La salida más realista de esta ecuación se puede describir con precisión como «muy rara» o incluso «extremadamente rara», pero no hay evidencia de error.

«Es un poco como una fuerza irresistible y algo inamovible», dijo. Andrés Gilman, profesor de estadística y ciencias políticas en la Universidad de Columbia, cuando se le contó en abstracto sobre este ejercicio. «Por un lado, dices que es completamente aleatorio. Por otro lado, sospechas que no lo es».

Gilman, como cualquier otro estadístico que habló con el Times sobre este tema, dijo que el mayor obstáculo no eran los detalles, sino definir la pregunta en sí.

Cuando tratamos de calcular la probabilidad de un cierto evento Porque Sospechamos que podría no ser aleatorio, terminamos en una situación complicada de tratar de imaginar cómo habríamos predicho la probabilidad del evento. Antes Dijo lo que pasó David Spiegel Halter. Dirige el Winton Center for Communication on Risk and Evidence en la Universidad de Cambridge, una organización dedicada a mejorar la forma en que se utiliza la evidencia cuantitativa en la sociedad.

Las matemáticas son fáciles, dijo, pero la redacción de la pregunta es difícil, casi «sin sentido», debido en gran parte a la dificultad de definir en qué grupo estamos interesados.

«¿Cuál es la probabilidad de que eso suceda?» Es una declaración fácil de hacer.” “Es una declaración familiar. Pero, de hecho, es muy difícil responder a esta pregunta”.

Las matemáticas tienen sus límites. El objetivo de tratar de estimar una probabilidad como esta, dijo Gilman, no es darle mucha importancia a los números, sino dejar que el resultado lo impulse a aprender más.

En este caso, la mejor pregunta no es la respuesta que puede buscar en un libro de texto de estadística.

En cambio, dijo Gilman, la pregunta que se debe hacer es: «¿Qué está pasando?»

matthew collin Contribuir a la elaboración de informes.